¿SE PUEDE MEDIR EL INFINITO?

¿Se puede medir el infinito?


El aleph es el lugar donde están, sin confundirse, todos los lugares del orbe, vistos desde todos los ángulos. Si todos los lugares de la tierra están en el Aleph ahí estarán todas las luminarias, todas las lámparas, todas las fuentes de luz.
El Aleph J L Borges


No se como empezamos a hablar acerca el infinito, pero recuerdo que este tema era ya motivo de discusión con mis amigos de la niñez, tema al cual además intuitivamente lo relacionábamos con situaciones cosmológicas tales como las distancias y los tamaños de la luna, el sol, las estrellas, los planetas o el mismo cielo y casi sin darnos cuenta, el infinito iba tomando connotaciones teológicas al considerarlo como una propiedad privativa de Dios.

En esa época, la de la niñez, nos guiaba como dijera antes, exclusivamente la intuición, lo cual no es poco. A pasado el tiempo y ahora solo podemos agregar, un poco más, pero como contrapartida ya nuestras conversaciones son realizadas con absoluta impunidad.

Lo notable, es que días atrás escuche que Evaristo mientras jugaba con Kiara se hacia cargo del infinito mayor al cual consideraba como un numero muy grande, y a ella le quedaba el consuelo del infinito menor. Esa terminología utilizada por mis nietos sorprendentemente ya la utilizábamos a su edad cuando discutíamos nuestras posesiones.

Los griegos gozaron de precisión matemáticas sin el uso del infinito, la revolución científica manejaba el infinito pero no la precisión, la ciencia moderna a partir del siglo XIX maneja ambos precisión y el infinito
El Código de Arquímedes R Netz W Noel

En la actualidad los físicos teóricos se desvelan por encontrar la teoría que unifique lo infinitamente grande con lo infinitamente pequeño en este sentido Hubert Reeves dice que se establece un dialogo muy productivo entre los infinitos, el muy grande y el muy pequeño y desde estas dos escalas emergen la vida y los ecosistemas.

Demás esta decir que Reeves tiene una prosa mucho mas poética y recomendable, sin embargo Daniel, sin tener en cuenta lo anterior decía que podía imaginar lo infinitamente grande, pero no lo infinitamente pequeño porque en algún punto la materia se desvanecería y no habría nada, por eso creo oportuno mencionar que

.…a nivel subatómico la materia no estaría con seguridad en un lugar determinado si no mas bien muestra tendencia a existir…
F Capra

No es fácil que uno pueda aceptar esta ¨desmaterialización¨, pero con la pretensión de darle una introducción más atrayente a su inquietud y a la conversación, le hice la siguiente pregunta; ¿Qué tenes que decir acerca de que en un segmento de 1 cm. y en un segmento de 1 metro existen la misma cantidad de puntos?

La respuesta fue inmediata y ruidosa -no me vengas con el cuento de Aquiles y la Tortuga.
Le aclare que ese no era un cuento sino una paradoja y le recordé algunos conceptos tales como que;

………….Aquiles y la tortuga y otras muchas paradojas tienen distintos argumentos pero igual organización. Aquiles compite contra una tortuga a la que da una ventaja inicial, recorriendo en poco tiempo la distancia que lo separaba de ella , pero al llegar allí descubre que la tortuga ya no está, sino que ha avanzado, aunque más lentamente un pequeño trecho. Sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, esta ha avanzado un poco más y asi hasta el infinito.

Pense en silencio que era evidente que Aquiles alcanzaría a la tortuga, pero también que muchas veces lo obvio es un problema y la cuestión es como salir de la encerrona que nos plantean esta y otras paradojas. Una de las formas es encarar el problema recordando que debemos diferenciar lo lógico de lo ontológico, otra, tomando distancia del análisis infinitesimal reconvirtiéndolo en discreto, ya que no se recorre espacios infinitesimales sino espacios y números discretos. De vuelta al exterior, escuche que Daniel asentía la corrección diciendo - bueno, bueno, esta bien es una paradoja, no es un cuento, entendí, te acepto, pero lo que decís no tiene lógica-.
...Lo infinitamente pequeño despierta las mismas paradojas que lo infinitamente grande. Como un punto carece de la dimensión longitud, no importa el número finito de puntos que tomemos, jamás podrán constituir un segmento de recta, el cual si posee longitud. Por lo tanto cabe suponer que todo segmento de recta, toda región del plano o del espacio debe estar constituida por un número infinito de puntos…
Además de esta sentencia que rescate de alguien, recorde nuevamente en silencio durante un tiempo difícil de calcular, que había leído en Sabiduría Insólita, de F. Capra, un comentario hecho por Gregory Bateson acerca de que la lógica es un instrumento elegante al que le venimos sacando un buen rendimiento desde hace dos mil años, pero que para determinadas situaciones no es satisfactoria y nos hace caer indefectiblemente en paradojas. Sin embargo existe un acuerdo unánime que en la ciencia es mas importante proponer paradojas que soluciones , ya que estas, como decía Kierkkergard son la pasión del pensamiento.
Siguiendo con Bateson, este pensador consideraba que las historias, las paradojas y las metáforas son expresiones esenciales del pensamiento humano. En relación a las paradojas decía que si se programa a una computadora para resolverlas contestaría con una oscilación: si, no, si, no, si, no si, no…. y que el equivalente cibernético de la lógica es precisamente la oscilación. Oscilar es el destino que asumen según el las paradojas, algo que era ya lo sabían milenios atrás los pensadores orientales y occidentales.


Voy a sintetizar si pudo una conferencia que Guillermo Martínez diera en las universidades de Boston y Armstrong Atlantic, (octubre y noviembre de 2001) y cuya lectura completa les sugiero, en ella menciona que J. Borges quien se ocupo ampliamente del infinito, como lo evidencian claramente sus ficciones y paradojas y específicamente en el Aleph con tres ideas fundamentales:

La primera en relación con los números, el Aleph, es símbolo de los números transfinitos, el todo no es mayor que una de las partes. Borges encontraba particularmente esto como curioso y perturbador, un quiebre del postulado aristotélico milenario según el cual el todo debe ser mayor que cualquiera de las partes. En el infinito matemático, en efecto, el todo no es necesariamente mayor que cualquiera de las partes.

La segunda se refiere a la geometría, con ella intenta apelando a distintas analogías describir el Aleph, como un punto, el punto que concentra y guarda todas las imágenes. Los místicos, en análogo trance, escribe Borges, “prodigan los emblemas: para significar la divinidad, un persa habla de un pájaro que es todos los pájaros, Alain de Lille, en siglo XII sostenía que ¨ Dios es una esfera inteligible cuyo centro esta está en todas partes y la circunferencia en ninguna”.

La tercera en una auto referencia ,la cual en el Aleph ocurre durante la célebre enumeración de imágenes: “...vi el Aleph, desde todos los puntos, vi en el Aleph la tierra, y en la tierra otra vez otra vez el Aleph....

Pero como es de suponer esta ficción no es única en Borges veamos algunas citas referidas a sus ficciones:

…La biblioteca es una esfera cuyo centro cabal es cualquier hexágono cuya circunferencia es inaccesible
….que el cielo exista aunque mi lugar sea el infierno. Que sea yo ultrajado y aniquilado, pero que en un instante en un ser, Tu enorme Biblioteca se justifique
La Biblioteca de Babel

Hay un concepto que es el corruptor y el desatinador de los otros .No hablo del Mal cuyo limitado imperio es la ética : hablo del infinito
Avatares de la Tortuga

... se imagina un punto. Se supone que el punto no ocupa extensión alguna. Si tomamos luego una sucesión infinita de puntos tendremos una línea Y luego tomando un numero infinito de líneas la superficie Y un numero infinito de superficies, tenemos el volumen Pero yo no se hasta donde podremos entender esto, porque si el punto no es espacial, no se sabe de que modo una suma, aunque sea infinita, de puntos inextensos, puede darnos una línea extensa…


…Sentí que era un objeto de pesadilla, una cosa obscena que infamaba y corrompía la realidad. Pensé en el fuego, pero temí que la combustión de un libro infinito fuera parejamente infinita y sofocara de humo al planeta. Recordé haber leído que el mejor lugar para ocultar una hoja era el bosque…Aproveche un descuido de los empleados para perder el Libro de Arena en uno de los húmedos anaqueles….

El libro de Arena


Como vemos desde distintas paradojas y metáforas, tales como las de Zenón y las ficciones de Borges se nos hacen presente la inquietud intelectual que género desde siempre, que genera y seguramente generara pensar acerca del infinito.

A Giordano Bruno no solo lo inquieto intelectualmente, sino que por el hecho de sostener la posibilidad de infinitos mundos la santa inquisición lo puso a dorar a fuego rápido.

Después de este divagar, necesario, tal vez solo mi, volví sobre la pregunta, pero siempre en silencio, recordando lo que decía acerca de esta Galileo Galilei y que justificaba totalmente la posición de Daniel.

El florentino siglos atrás había rechazado la idea del infinito como paradójica ya que atentaba contra la razón y lo hizo casualmente después de observar que los puntos de dos segmentos de recta de diferente longitud podían hacerse corresponder biunivocamente , el infinito permitía que la parte fuera del mismo tamaño que el todo.

¿Que nos aporta la matemática moderna?

La figura de George Cantor en el siglo XIX demostro algo aparentemente imposible; hay conjuntos tan grandes que no podemos contar sus elementos, incluso con ayuda de los infinitos números naturales que disponemos El conjunto de todos los decimales, es decir de los racionales e irracionales, constituye un infinito mayor que el conjunto de las fracciones, es decir de los infinitos números racionales.
Los conjuntos infinitos no tienen siempre el mismo tamaño o en lenguaje matemático el mismo cardinal, existen infinitos más grandes que otros, una serie interminable de diferentes clases de infinitos .Como vemos los chicos al igual que otros ilustres pensadores tenían toda la razón.

G. Cantor refiriéndose al infinito expresaba que existen;

………………….tres contextos donde surge el concepto de infinito actual: primero cuando es realizado en la forma más completa, en un ser independiente de otro mundo, en Dios, al cual llamo el Infinito Absoluto o simplemente Absoluto; segundo cuando ocurre en lo contingente, en el mundo físico; tercero cuando la mente lo aprehende en abstracto como una magnitud matemática, número, o tipo de orden. Quiero hacer un claro contraste entre el Absoluto y lo que yo llamo Transfinito, es decir, los infinitos actuales de las dos últimas clases, los cuales están
claramente limitados, sujetos a nuevas extensiones, y por lo tanto relacionados con lo finito.

Este matemático murió en un hospital psiquiátrico en 1918, pero su obra sigue siendo un desafió intelectual, su final cumplió con la profecía de Paul Davis ; ¨enfrentarse con el infinito ha sido una experiencia dura para matemáticos y físicos y no digamos para filósofos y teólogos , algunos de los cuales también tuvieron que enfrentarse con la muerte . Pero vivimos en un mundo con abundantes infinitos –en la estructura del espacio y del tiempo, en la composición de la materia, en el movimiento de simples objetos y en la estructura interna de los átomos .

El que quiera continuar la búsqueda deberá hacerlo por su cuenta, ya esta advertido de los riesgos. Para mí con esto es suficiente.


Un pequeño aporte acerca de los números
Aleph cero: indica número de elementos de conjuntos infinitos coordinables con el conjunto de números naturales. Es de una cardinalidad inferior a la del conjunto de los números reales, al cual se denomina aleph uno.
Cardinal de un conjunto: numero de elementos de ese conjunto.
Conjunto: colección de objetos bien definidos por medio de alguna o algunas propiedades en común, objetos que pueden ser cosas físicas o abstractas, a los que además se les llama elementos del conjunto.
Conjuntos coordinables: son aquellos que tienen el mismo cardinal
Conjunto finito: los conjuntos finitos tienen una propiedad, una parte de los mismos, contiene un número de elementos menor que todo el conjunto. Su cardinalidad puede representarse con un número entero
Conjunto infinito: son aquellos en que es posible encontrar un subconjunto propio del mismo con una biyeccion con todo el conjunto original.
Los números racionales: todo numero que puede representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero (una fracción común). El término «racional» alude a «ración» o «parte de un todo», y no al pensamiento o actitud racional. También tienen a aleph cero como cardinal, es decir son coordinables con los naturales
Los números irracionales: no pueden ser representados por fracciones, un número irracional es cualquier numero real que no puede ser expresado como una fracción m/n, donde m y n son enteros, y n diferente de cero y donde esta fracción es irreducible. Tienen infinitas cifras decimales periodo no definido .Es un decimal infinito no periódico.
Números reales : unión del conjunto de los racionales y el conjunto de los irracionales.


Para seguir pensando , si queres ;

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Bibliografía
C. Chorda. Ciencia Para Nicolás Editorial Laetoli 2005
F Capra. El Tao de la Física. Editorial Sirio 2005
A C de la Torre, Física Quántica para filósofos. Fondo de Cultura Económica 1992
R Netz W Noel El Código de Arquímedes Emece 2007
J.L. Borges. Ficciones. Alianza Editorial 2006
A Carpio. Principios de Filosofia. Glauco 1992
H Reeves. AVES, MARAVILLOSAS AVES. Los diálogos entre el cielo y la vida. Península Biblos 1999
L Pretra. Imágenes y Metáforas de la Ciencia. Alianza Universidad 1993
A Paenza. Matemática ¿ESTAS AHÍ? , Siglo Veintiuno Editores 2005
J.L. Borges. Borges Oral .Emece Editores. Editorial Belgrano 1979
J.L. Borges. El Libro de Arena .Alianza Editorial 1975
G Martínez . Borges y la Matemática . Eudeba 2003
F. Savater .La aventura del Pensamiento 2008