PUENTES ,GRAFOS,DONUTS,TOPÓLOGIA,REDES,CAMINOS,CICLOS Y...

 

Puentes ,Grafos, Donuts, Topología, Redes ,Caminos, Ciclos y…

En cuarto grado del Salesiano un compañerito ,José Viudes, me trajo el desafío  de graficar un sobre abierto y  uno cerrado. El problema era graficarlos sin levantar la mano y sin pasar dos veces por el mismo lugar. En el sobre abierto tarde, pero lo hice ,el sobre cerrado imposible. Muy lejos de imaginar su profundidad, recuerdo; ¨Las raíces triviales de fundamental¨ ,el desafío que nos dejó J Wagensberg.

Hace años escribí atrevida-mente: La Vieja Mochila La Nueva Mochila, uno de los capítulos es acerca de los puentes de Königsberg, hoy Kaliningrado , allí vivió I Kant , pero estaba ocupado en teoría del conocimiento ,ética y metafísica ,pero otro grande ¨El príncipe de las matemáticas, L. Euler,   dio por terminado el pasatiempo de los lugareños : cruzar los siete puentes sin pasar dos veces  por el mismo puente. ¿imaginaria  lo que inicio y  nos legó?

                                  

Este es un ejemplo paradigmático de las raíces de lo fundamental, mucho más allá de nuestra limitada imaginación.  Los dibujos muestran; un grafo dibujado sobre los puentes, un sobre abierto y la transformación topológica de donuts en una tasa.  Los puentes y el sobre en relación con Euler , el donuts  a Leibniz y la matemática sin números o de la página de goma. Grafos y topología dan nacimiento a las redes. F. Kapra sentencia acertadamente : ¡Donde vemos vida vemos redes!

Hoy la ¨invitación¨ es imaginar ; teoría de grafos, topología y redes ,con sus múltiples aplicaciones. Una es  que nuestro cerebro se  modela como un grafo donde los nodos son las neuronas y las aristas son las conexiones sinápticas, donde la memoria, el aprendizaje y mucho más , se representan como caminos a través de esta ¨red de redes¨. Cuando  pensamos o recordamos algo, activamos el recorrido  de un conjunto específico de conexiones neuronales. Solo para simplificar  lo complejo cito dos redes generales implicadas en nuestra tarea cognitiva, la de ¨mundo pequeño¨ y la de ¨escala libre¨.

Las redes de mundo pequeño: Son redes en las que cualquier nodo está conectado a cualquier otro nodo por un número relativamente pequeño de pasos. Permite accesos rápidos a la información almacenada en ¨nodos¨ del cerebro, optimizando la recuperación de recuerdos. ¨El mundo es un pañuelo¨, él cerebro aparentemente también, es como si siempre hubiese un atajo oculto entre  pensamientos.

Las redes de escala libre se caracterizan por la existencia de unos pocos ¨nodos¨ muy conectados (hubs) y muchos con pocas conexiones. Estos hubs representan regiones cerebrales claves que integran y distribuyen la información entre áreas especializadas.

 

Conclusión el pasatiempo de mi amiguito, que  relaciono décadas después  con los  puentes de Königsberg, es una maravilla matemática, que inspira una forma de pensar  la complejidad.

Adenda Caminos y ciclos eulerianos y hamiltonianos, son  fundamentales en la teoría de grafos, pueden parecer abstractos a primera vista, pero  intiman en nuestra comprensión del cerebro humano, Cruzamos cada conexión sináptica, o exploramos cada vértice conceptual, en busca de entender cómo surgen la memoria, el aprendizaje y la conciencia.

 

Camino Euleriano: Es un camino que recorre todas las aristas de un grafo exactamente una vez.

Ciclo Euleriano: Es un camino Euleriano que comienza y termina en el mismo vértice.

Camino Hamiltoniano: Es un camino que pasa por todos los vértices de un grafo exactamente una vez.

Ciclo Hamiltoniano: Es un camino Hamiltoniano que comienza y termina en el mismo vértice.

 

La conectividad del cerebro humano tiene relación con estos conceptos matemáticos a través de la neurociencia de redes y la IA El cerebro ¨podría¨ ser modelado como un grafo, donde los nodos representan neuronas o regiones , y las aristas representan las conexiones sinápticas entre ellas.

 

En conclusión, la analogía entre los procesos de aprendizaje y consolidación de la memoria y los ciclos eulerianos y hamiltonianos son una herramienta  para ¨comprender¨ elementalmente la complejidad del cerebro, una simplificación, la realidad es mucho más rica y dinámica.